Séminaire de Géométrie Tropicale
16 Mai 2012, 16h15 salle 1525-5-02
Résumé :
Approximation des courbes sur les surfaces rationnelles réelles
(travail en collaboration avec János Kollár)
Il est bien connu que toute application différentiable S^1-> X du cercle vers une variété rationnelle réelle admet une approximation par des application algébriques P^1(R) -> X. En particulier, toute courbe fermée simple sur une surface rationnelle S admet une approximation par des courbes rationnelles de S. Remarquons que ce résultat concerne les courbes rationnelles paramétrées, l'adhérence de Zariski de l'image possède donc éventuellement des points isolés supplémentaires. Nous montrons comment se débarrasser de ces points isolés.
Théorème principal : Soit S une surface rationnelle lisse et K \subset S une courbe fermée simple. Alors K admet une approximation par des courbes rationnelles lisses L \subset S. De plus, nous caractérisons par des conditions purement topologiques la possibilité pour K d'admettre une approximation par des (-1)-courbes, ou par la fibre de fibrés en coniques. Les (-1)-courbes étant des objets plutôt rigides, l'approximation par des (-1)-courbes est une question assez subtile.