Séminaire de Géométrie Tropicale
21 novembre 2012, 16h15 salle 1525-502
Droites sur des surfaces quartiques lisses
Résumé :
Le théorème de Torelli global et la surjectivité
de l'application de périodes permettent de réduire
beaucoup de questions concernant la topologie et la géométrie
des surfaces K3 à certains problèmes arithmétiques.
On applique cette idéologie à l'étude des configurations
possibles de droites sur une surface quartique
non singulière dans l'espace projectif complexe de dimension 3.
C. Segre a montré qu'une quartique non singulière dans
P^3 ne peut pas avoir plus de 64 droites,
et un example explicit d'une surface avec exactement 64 droites
est connu. La démonstration de Segre est assez compliquée
et utilise des techniques de la géométrie algébrique classique
dans le style de l'école italienne.
On redemontre le résultat de Segre en utilisant
l'approche arithmétique contemporaine.
En plus, on montre que, à équivalence projective près,
une surface quartique non singulière avec 64 droites est unique.
On montre aussi qu'une surface quartique non singulière réelle
ne peut pas contenir plus de 56 droites.
(Travail en commun avec A. Degtyarev.)